Section author: Vedran Miletić

C++ biblioteka predložaka za linearnu algebru Eigen

Eigen je popularna C++ biblioteka predložaka koja implementira:

  • podatkovne strukture za linearnu algebru kao što su matrice i vektori te

  • s njima povezane algoritme kao što su rješavanje linearnih jednažbi, računanje karakterističnih vrijednosti i drugi

Funkcionalnost:

Performanse:

  • omogućuje primjenu “lijenog izračuna” (engl. lazy evaluation) gdje god to ima smisla

  • provodi eksplicitnu vektorizaciju za SSE2/SSE3/SSE4, AVX/AVX2/AVX512, FMA i srodne ekstenzije na drugim arhitekturama

  • izbjegava se dinamička alokacija memorije kod matrica fiksne veličine

  • odpetljavaju se petlje kad to ima smisla

Osim toga, Eigen je dizajniran da bude jednostavan za korištenje programerima naviklim na C++.

Guste matrice i polja

Kratki pregled načina korištenja.

Moduli:

  • Core implementira vektore, matrice i polja te linearnu algebru i osnovne funkcije za rad s poljima (#include <Eigen/Core>)

  • Eigenvalues implementira računanje karakterističnih vrijednosti i vektora te pripadne dekompozicije (#include <Eigen/Eigenvalues>)

Polja, matrice i vektori

  • Eigen::Matrix je tip kojim se zapisuju matrice

  • Eigen::Vector je specijalizacije tipa Eigen::Matrix koja ima jedan stupac

  • Eigen::Array je polje (produkt dva polja računa se element po element, a ne kao produkt matrica)

Inicijalizacija:

  • Eigen::Matrix<float, 4, 3> matrica od 4 retka i 3 stupca čiji su elementi brojevi s pomičnim zarezom jednostruke preciznosti

  • Eigen::Matrix<double, Dynamic, Dynamic> matrica dinamički promjenjivog broja redaka i stupaca čiji su elementi brojevi s pomičnim zarezom dvostruke preciznosti

  • pomoćni nazivi tipova: Eigen::Matrix3f 3x3 matrica s float vrijednostima, Eigen::Matrix2d 2x2 matrica s double vrijednostima

Aritmetički operatori (neka su mat1, mat2 i mat3 matrice, vec1 i vec2 bilo kakvi vektori iste vrste, row1 retčani vektor, col1 stupčani vektor te s1 skalar):

  • zbrajanje: mat1 + mat2

  • množenje sklalarom: s1 * mat1, mat1 * s1, mat1 / s1

  • množenje matrice i vektora: mat1 * col1, row1 * mat1

  • množenje matrica: mat1 * mat2

  • transponiranje: mat2.transpose()

  • skalarni (unutarnji) produkt: vec1.dot(vec2)

  • vektorski produkt: vec1.cross(vec2)

  • vanjski produkt: col1 * row1

  • norma: vec1.norm()

Primjer korištenja:

#include <Eigen/Core>
#include <iostream>

int main() {
   Eigen::Matrix2d A;
   A << 2., 0., -0.5, 1.;

   std::cout << A << std::endl;
   std::cout << "trag: " << A.trace() << std::endl;
   std::cout << "norma: " << A.norma() << std::endl;
   std::cout << "minimalni koeficijent: " << A.minCoeff() << std::endl;
   std::cout << "maksimalni koeficijent: " << A.maxCoeff() << std::endl;

   return 0;
}

Zadatak

  • Dopunite primjer tako da inicijalizirate još jednu matricu B od 4 retka i 2 stupca pa izračunajte produkt te matrice i matrice A. Transponirajte matricu B pa izračunajte produkt matrice A i matrice dobivene transponiranjem B.

  • Dohvatite prvi stupac matrice B u vektor i izračunajte njegovu normu, a zatim dohvatite oba stupca matrice B u dva vektora i izračunajte njihov skalarni produkt.

Operatori na poljima (neka su array1 i array2 polja istog oblika, a s1 skalar):

  • aritmetički operatori element po element: array1 + array2, array1 - array2, array1 * array2, array1 / array2

  • usporedbe: array1 < array2, array1 => array2, array2 > s1 itd. (rezultat usporedbe je polje elemenata tipa bool)

  • funkcije: array1.abs(), array1.log(), array1.pow(array2), array1.pow(s1) itd.

Zadatak

Inicijalizirajte dva polja i dvije matrice s elementima iste vrijednosti pa usporedite rezultate korištenja aritmetičkih operatora + i *.

Rijetke matrice

Kratki pregled načina korištenja.

  • Sparse implementira rijetke matrice i pripadnu linearnu algebru (#include <Eigen/Sparse>)

Inicijalizacija:

  • SparseMatrix<double> spmat(1000, 100) rijetka matrica od 1000 stupaca i 100 redaka čiji su elementi brojevi s pomičnim zarezom dvostruke preciznosti

  • spmat.insert(i, j) = v dodaje element vrijednosti v na mjestu i, j ako element ne postoji, u protivnom:

    • spmat.coeffRef(i, j) = v postavlja element na mjestu i, j na vrijednost v

    • spmat.coeffRef(i, j) += v uvećava element na mjestu i, j za vrijednost v

    • spmat.coeffRef(i, j) -= v umanjuje element na mjestu i, j za vrijednost v

Dohvaćanje svojstava:

  • spmat.nonZeros() broj elemenata različitih od nule

  • spmat.norm() euklidska norma matrice

  • spmat.isCompressed() provjera je li matrica zapisana u komprimiranom obliku

Aritmetički operatori (spmat1 i spmat2 rijetke matrice, s1 skalar, dm1 gusta matrica, dv1 gusti vektor):

  • zbrajanje: spmat1 + spmat2, oduzimanje: spmat1 - spmat2

  • množenje skalarom: spmat1 * s1, spmat1 / s1

  • množenje rijetkih matrica: spmat1 * spmat2

  • množenje rijetkih matrica gustim matricama i vektorima: spmat1 * dm1, spmat1 * dv1

  • transponiranje: spmat1.transpose()

Zadatak

  • Napravite program koji inicijalizira gustu matricu s 2000 redaka i 2000 stupaca i elementima tipa double. Za vrijeme dok se program izvodi izmjerite zauzeće memorije, korištenjem top-a (stupac RES) ili ps-a (stupac RSS).

  • Napravite program koji inicijalizira rijetku matricu s 2000 redaka i 2000 stupaca i elementima tipa double. Postavite vrijednosti svih elemenata na dijagonali. Za vrijeme dok se program izvodi izmjerite zauzeće memorije, a zatim usporedite s prethodnim slučajem.